Análisis integral de las funciones

Conalep

Analisis integral de las funciones

Integrantes:   Kennya Maya Sanchez.

                    Rogelio Garfias Benteño.
                      Dario Victoria Martinez

                    Nancy Karina Perez Salgado.

                    Juan Carlos Rojas Arenazas.

                    Luis Arnulfo Garduño Gonzalez.

Maestra: Edith Suarez Garcia.

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Las formulas de las integrales son:

Determinación de diferenciales.

Interpretación grafica de la diferencial de la variable dependiente.

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

Ejemplos

El precio que pagamos por las patatas depende del número de kilogramos que compremos.

x = Kg de patatas 1 2 3 4 5

y = Precio en € 2 4 6 8 10

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

Reglas de diferenciación.

Función de una variable-de forma

!

Y = f (x) donde f significa cualquier función. En

Economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente

Diferenciables. k es un constante.

1. Regla de la función constante

Determinación de diferenciales.

Interpretación grafica de la diferencial de la variable dependiente.

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

Ejemplos

El precio que pagamos por las patatas depende del número de kilogramos que compremos.

x = Kg de patatas 1 2 3 4 5

y = Precio en € 2 4 6 8 10

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

Reglas de diferenciación.

Función de una variable-de forma

!

Y = f (x) donde f significa cualquier función. En

Economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente

Diferenciables. que es un constante.

A continuación mostraremos como realizar una integral de una forma detallada...

Las cuales utilizamos para elaborar estos ejercicios:

         2 NOTACIÓN SUMATORIA

Notación sigma.

                En la sección anterior hemos estudiado la antiderivación. En esta sección investigaremos un problema referente al cálculo del área de una región en el plano. A primera vista, parece que esos dos conceptos no tengan relación alguna. No obstante, descubriremos que están íntimamente ligados por el importantísimo teorema fundamental del Cálculo.

                Empezamos introduciendo una notación concisa para las sumas, que se denomina notación sigma debido a que utiliza la letra griega Σ, la sigma mayúscula.

NOTACIÓN SIGMA.

                La suma de n términos se escribe

                                        

donde i es el índice de suma, a_i es el i-ésimo término de la suma, y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n.

Nota: Los límites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por que ser 1. Cualquier entero menor o igual que el límite superior es lícito.

                Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

1.

2.

Concepto de integral definida en un intervalo

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Formulas directas

Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.

En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como , también se puede expresar así:

Derivada del logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implícitas

PROBLEMAS DE ALGUN CONTEXTO

A continuación, mostramos cuatro de los problemas utilizados en las cuatro últimas PL (6, 7, 8 y 9) en las que centraremos nuestro análisis.

PROBLEMA 1
Dada la función f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 12x² + 5
a) Aproxima mediante los métodos gráfico y numérico el área bajo la curva en el intervalo [-1, 2.5].
b) Aproxima mediante los métodos gráfico y numérico el valor de la integral definida en el intervalo [—1, 2.5].
c) Calcula, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, el área de la región en el intervalo [—1, 2.5].
d) Calcula, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, la integral definida en el intervalo [—1, 2.5].
Este problema se enmarca en el contexto matemático. Se trata de una función continua para la que se pide el cálculo del área/integral por los distintos métodos que aparecen incluidos en el PU. La gráfica de la función posee partes situadas tanto por arriba del eje OX como por debajo de éste, lo que permite distinguir cuando se puede interpretar como un área la integral definida.

PROBLEMA 2
Dada la función

a) Calcula, en caso que sea posible, el área de la región limitada por la curva en el intervalo [-2, 3].
b) Si es posible, estima el valor de la integral definida en el intervalo [-2, 3]. Si no es posible, explica por qué.
Al igual que en el problema anterior, éste pertenece al contexto matemático. Se trata de una función continua a trozos para la que se pide el cálculo del área/integral en un cierto intervalo que contiene los puntos de discontinuidad.

PROBLEMA 3
Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de modo que su velocidad es v(t) = t² — 2t — 8, donde el tiempo es t. La velocidad se expresa en metros por segundo.
a) Calcula el desplazamiento de la partícula en el periodo 1 ≤ t ≤ 6.
b) Calcula la distancia recorrida durante este lapso (Stewart, 1999, p. 354, 357).
Éste es un problema en el contexto de la cinemática. Se involucran en él diversos conceptos de Física tales como velocidad, posición, distancia recorrida. La integral ayuda a identificar la relación que existe entre estos conceptos.

PROBLEMA 4
Una empresa de Ingeniería se ofrece a construir un túnel. Éste tiene 300 pies de largo por 50 pies de ancho. La forma del túnel es un arco cuya ecuación es y = 25 cos (πx/50). La parte superior del túnel se tratará con un sellador impermeable que tiene un costo de 1.75 dólares por pie cuadrado. ¿Cuál es el costo total de la aplicación del sellador? (Thomas y Finney, 1996, p. 399.)

Por último, un problema en un contexto hipotético de Ingeniería (Barrera y Santos, 2002, pp. 8-37), en el que el cálculo del área de una superficie no resulta como aplicación directa de la integral, sino que el concepto de integral se utiliza para calcular la longitud de un arco de curva y, a partir de esto, se puede calcular el área.

INTERPRETACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
En esta sección presentamos la interpretación y el análisis de las respuestas y actuaciones que exhibieron los estudiantes cuando resolvieron las tareas propuestas.
Para la resolución de las tareas propuestas, los estudiantes utilizaron el pu, el cual tiene como características principales:
• Representación gráfica de las diferentes aproximaciones al área limitada por una función con el eje OX: rectángulos inferiores, rectángulos superiores, punto medio, trapecios y trapecios parabólicos (aproximación de Simpson).
• Aproximaciones numéricas de la integral de una función en un intervalo dado. Las hemos denominado matrices de aproximación y recogen, en la primera columna, el número de subintervalos de integración que se consideran; en la segunda, la aproximación con rectángulos inferiores; en la tercera, con rectángulos punto medio; en la cuarta, con trapecios; en la quinta, con trapecios parabólicos, y en la sexta, con rectángulos superiores.

PROBLEMA 1
En este problema los estudiantes utilizan eficazmente el CAS , mostrando con ello un manejo adecuado de los procedimientos instrumentales. Por ejemplo, Jisbel y Dulce (pareja 3) presentan su solución haciendo uso de las dos representaciones: la gráfica (figura 1) y la numérica. Construyen con el PU la matriz de aproximación (tablas1 y 2).

ECONOMIA

La economía (del griego οἶκος oikos, ‘casa’, y νόμος nomos, ‘ley’) es la ciencia social que estudia:

·         La extracción, producción, intercambio, distribución y consumo de bienes yservicios.

·         La forma o medios de satisfacer las necesidades humanas mediante los recursos (que se consideran escasos).

·         Con base en los puntos anteriores, la forma en que individuos y colectividades sobreviven, prosperan y funcionan.

Expresado lo anterior de forma sintética, puede definirse la economía como la ciencia que estudia «cómo se organiza una sociedad para producir sus medios de existencia que, distribuidos entre sus miembros y consumidos por ellos, permiten que la sociedad pueda producirlos de nuevo y así sucesivamente, proveyendo con ello, de una forma constantemente renovada, la base material para el conjunto de la reproducción de la sociedad en el tiempo».¹

La economía se vale de la psicología y la filosofía para explicar cómo se determinan los objetivos; la historia registra el cambio de objetivos en el tiempo, la sociologíainterpreta el comportamiento humano en un contexto social y la política explica las relaciones que intervienen en los procesos económicos.

A aquel que estudia y analiza la economía de forma profesional se le llama economista.

CALCULO DE AREAS DE FIGURAS PLANAS CON UNA FUNCION

Aplicación de la integral definida
al cálculo de áreas de figuras planas

Área delimitada por una curva    y = f(x)    y el eje de abscisas

CASO  I :   La función    f(x)    es positiva en el intervalo    [a, b]

Hallar por integración el área del triángulo formado por la bisectriz del primer cuadrante al eje    OX    y la recta   x = 4 .  Comparar el resultado con el que se obtiene geométricamente.

El valor de la integral definida entre los valores    x = 0    y    x = 4    es el área encerrada bajo la curva:

CASO  II :   La función    f(x)    es negativa en el intervalo    [a, b]

Hallar el área del recinto limitado por la parábola de la ecuación    y = - x²  ,    el eje    OX    y las rectas    x = 2    y    x = 4 .

El valor de la integral definida entre los valores    x = 2    y    x = 4    es el área encerrada bajo la curva pero cambiada de signo. Es por esta razón por la que se toma el valor absoluto.

CASO  III :   La función    f(x)    cambia de signo en el intervalo    [a, b]

Hallar por integración el área limitada por el eje OX, la curva    y = x² - 4    y las rectas    x = 0    y    x = 4 .

En primer lugar calculamos los puntos de corte con el eje OX de la función:

A continuación estudiamos el signo de la función en cada uno de los intervalos o se dibuja la gráfica de la función:

Intervalo	(- ∞, -2)	(-2, 2)	(2, +∞)
Punto de prueba	f(-3) > 0	f(0) < 0	f(3) > 0
Signo de f(x)	+	-	+

Como la función entre 0 y 2 es negativa y de 2 a 4 es positiva, hay un recinto que es negativo (de 0 y 2) y otro positivo (de 2 a 4) :

El área es la suma algebráica de las áreas encerradas por la gráfica y el eje   OX   entre los valores   0   y   4 .

 FORMULAS

Una fórmula es un método práctico de resolver un asunto, brindar instrucciones o expresar una operación en el ámbito científico.

Uno de los ámbitos más reconocidos para el empleo de fórmulas es el de la química y la física. Para los científicos químicos, una fórmula permite resolver operaciones y regular convenciones a la hora de poner en interacción sustancias y materias.

PROCEDIENTOS

Realizar y llevar a cabo un inventario de todos aquellos procedimientos que pueden asimilarse como procedimientos contables de acuerdo con la definición dada al principio, permite conocer en profundidad todas las posibles operaciones que pueden afectar los estados financieros.

Cuando se está realizando el análisis de todos los procesos llevados a cabo por la empresa, es sumamente importante determinar e identificar todos aquellos clasificables como procedimientos contables. Este primer paso del análisis ayudará a determinar e identificar en cuáles de ellos un error pudiera tener mayor impacto sobre los estados financieros que otro.

La amortización de una plusvalía por lo general, representa montos importantes. En una empresa manufacturera, se considera altamente crítico, el manejo de todos los inventarios, sean éstos de productos terminados, productos en proceso, materias primas o materiales y suministros.

Es probable que para una empresa de servicios el manejo de los inventarios involucre cifras de poca importancia en comparación a lo que representan éstos para una empresa

RESULTADOS

Los resultados pueden ser divididos en varios tipos, dependiendo del procedimiento que se haya llevado a cabo para obtenerlo. Por ejemplo, en cualquier estudio extensivo un resultado puede implicar las conclusiones de una investigación, mientras que en algunos juegos o en guerras, el resultado es la identidad de la facción o equipo perdedor y ganador. En matemáticas, se le conoce como resultado al valor final de un cálculo, función o expresión estadística.

SUMA DE REIMANN

En matemáticas, la suma de Riemannes un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemánBernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS POR METODOS

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

CIENCIAS

La ciencia (del latín scientĭa‘conocimiento’) es el conjunto de conocimientos estructurados sistemáticamente. La ciencia es el conocimiento obtenido mediante la observación de patrones regulares, de razonamientos y de experimentación en ámbitos específicos, a partir de los cuales se generan preguntas, se construyen hipótesis, se deducen principios y se elaboran leyes

 Generales y sistemas organizados por medio de un método científico.¹

La ciencia considera distintos hechos, que deben ser objetivos y observables. Estos hechos observados se organizan por medio de diferentes métodos y técnicas, (modelos y teorías) con el fin de generar nuevos conocimientos.

INGENIERIA

La ingeniería es el conjunto de conocimientos y técnicas científicas aplicadas al desarrollo, implementación, mantenimiento y perfeccionamiento de estructuras (tanto físicas como teóricas) para la resolución de problemas que afectan la actividad cotidiana de la sociedad.

Para ella, el estudio, conocimiento, manejo y dominio de las matemáticas, la física y otras ciencias es aplicado profesionalmente tanto para el desarrollo de tecnologías, como para el manejo eficiente de recursos y/o fuerzas de la naturaleza en beneficio de la sociedad. La ingeniería es la actividad de transformar el conocimiento en algo práctico.

Otra característica que define a la ingeniería es la aplicación de los conocimientos científicos a la invención o perfeccionamiento de nuevas técnicas. 

ADMINISTRACION

La administración como una ciencia social compuesta de principios, técnicas y prácticas y cuya aplicación a conjuntos humanos permite establecer sistemas racionales de esfuerzo cooperativo, a través de los cuales se puede alcanzar propósitos comunes que individualmente no es factible lograr.

Grupo: 6206                                                                  Especialidad: Informática